作者：柯資能
摘要： 本文從自然數及其記數法的基本概念出發，辨析了與二進位制相關的幾個容易混淆的概念，指出序數概念的引入在近代數學發展中有重要意義，作為邵雍數學學派的數學基礎，先天易是數學史上第一個專門定義的序數體系，該序數體系在數學史上率先採用了二進位制記數法。先天易作為二進位序數體系這一事實在明清時期引起不同的反響，反對者認為它使易道淪落，大數學家汪萊則從P進制的角度論證它的優越性。本文最後還對近年來反對先天易與二進位有關的兩種典型觀點進行了剖析，指出其謬誤所在。
關鍵字：先天易；二進位制； 序數； 邵雍； 汪萊
第一節 先天易是二進位體系
一、二進位制的定義
易與二進位制問題的討論，實際上是關於自然數記數法討論。
二進位制是最簡單、最基礎的計數方式之一。生活中對二進位的掌握與運用，只須有一定的同異判別能力即可，對智力水準的要求比十進位低得多。不能因為電子產品廣泛應用二進位邏輯最簡單、最基本的特性而將它神秘化。
什麼是二進位制呢？首先要搞清楚的是：什麼是自然數？
下面我們從自然數及自然數記數法的一般定義出發，進行說明。自然數兩種基本定義：一稱為基數定義，表示個數；一稱為序數定義，表示順序關係。
基數就是帶單位的數量，是相對直觀的概念，反映一種原始的抽象思維，記錄實物物件的重複量，離不開實物物件，只需數個數的水準，如結繩計數，尚不需形成整體意識，對心智比較也不需有過多的要求，就像兒童都有過認得一些零散的數（個數），但分不清大小的經歷一樣，在人類掌握排序概念以前，基數概念是最原始的數的概念。基數定義的自然數沒有排序功能，排序的概念則隸屬於自然數的序數定義。這是自然數的兩重天然屬性。一般認為，在19世紀下半葉之前，數學界對其中的區別並沒有清晰的認識。
順序關係是自然數序數定義的核心。對序數的認識和運用是人類智力水準的又一次飛躍。基數是實物物件的簡單影射，序數則擺脫了實物物件的約束，需要比基數更進一大步的抽象能力和比較能力，並有自覺的全域觀念。
任何用來表示順序的符號都是序數表示式，對使用者來說，都是自然數。如Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ，甲、乙、丙、丁，在生活中常用以表示順序，這時就屬於數的範疇，都是序數表示。甚至如座位三排五號也是序數，這種計數方法屬於自然數表示方式中的非位元值進位制，它的位元值用專用符號“排”和“號”來表示。可見，用來表示個數或序的符號都是自然數。
根據符號的內部結構，自然數的表示法可分為非進位制、特殊位值進位制和位值進位制。非進位制是自然數的最原始的表示法，如簡單結繩計數形式。特殊位值進位制是指使用了進位的概念但借助專用記號表示位元值，沒有通用的位值概念。如上面提及的三排五號就是這種表示法，‘三’與‘五’是不同位上的值，這裏使用了進位的概念，並借助專用符號‘排’來表示進位，而不是直接利用基本符號本身的位置關係來表示進位，因此稱為非位值進位制或特殊位值進位制。由於受專用進位元符號的制約，這種表示法使用起來有明顯的局限性。古代的很多計數法如埃及、希臘、羅馬的計數法都屬於這類進位制。比如古希臘半島採用２７個字母計數法，從1-9用九個字母表示，10-90 再用另外九個字母表示，100-900用剩下的九個字母表示，這種笨拙的特殊位值十進位計數法一直延續到文藝復興前夕。
位值進位制是先進的表示法，顧名思義，直接利用基本符號本身的位置關係來表示進位，即“它用同樣的符號利用位置關係表示高位值”，因此稱為位元值進位制。由於使用了位值的概念，位值進位制原則上可以把自然數推至無窮而不會出現邏輯困難。用十個基本符號來表示就稱為十進位制，用兩個基本符號來表示就稱為二進位制。
二、與二進位制定義相關的幾個容易混淆的概念辨析
由於所有數系的基礎都是物件的可數性或有序性即自然數，因此自然數記數法隨著數系的擴充，依次可以自然而然地成為整數、有理數、實數和複數的記數方式。對同一個數系來說，不同的記數方式是等價的，數系與記數方式之間不存在相互約束的關係。
在討論周易與二進位制這個問題時，二進位算術是一個常出現的提法，但它是一種概念不清的錯誤提法，因為算術法則是來自數系自身的邏輯內涵的一種操作規定，只與數系自身有關，與記數法則毫無關係。採用同樣的記數法，只須對數系的定義進行一些簡單修改，它的算術就會面目全非。可見，在討論是否使用過二進位記數法這一問題的時候，把四則運算作為評判條件是錯誤的。
另外，有人以是否存在用二進位表示的小數作為二進位發明的判據，顯然也是錯誤的，因為記數法與數系之間不存在相互約束的關係，小數的發明遠在十進位制之後就是一個例子。
值得一提的還有二進位的基本符號問題。二進位記數法的基本符號只需且只能有兩個基本符號，而這兩個符號可以是約定的任意字元，０和１僅僅是符合要求的任意符號組合中的一組而已，這也是很容易引起想當然的誤會。也許是因為我們對阿拉伯數字太熟悉了的緣故，常常會誤解只有寫成0和1形式的符號系列才是二進位制形式。其實，為了避免與十進位阿拉伯數字符號混在一起，現代運用中更多的是採用T(true)和Ｆ(false)或L(left)和R(right)作為基本符號。
三、先天易是二進位制體系
首先，讓我們來總結一下成為二進位制的條件是什麼？
１．必須符合自然數定義，即必須是用來表示數量關係或順序關係的符號體系。
２．基本的符號是不是只有兩個？
３．必須符合位值進位制的定義，即是否“用同樣的符號利用位置關係表示高位值”，而不是另外引入專用進位元符號？
以上三個條件是一個符號體系稱為二進位制體系的充分條件。現就上述條件逐一討論。
１．邵雍先天易是用來表示抽象順序關係的符號體系。
這一點取得了幾乎完全的共識，看到圖就知道，這是非常顯然，無法辯駁的，幾乎所有的反對者都承認這一點。現最流行的觀點是西方漢學家葛蘭言提出來的，他斷言是碰巧而不是有意排出來的抽象順序，那也許是他沒有閱讀原著的結果。因為伏羲卦圖稱為伏羲八卦次序和伏羲六十四卦次序，圖名為次序，有什麼理由說他們不是主觀上有意的排序？自邵雍以來，幾乎所有的易書對此都做了或繁或約的闡述，現舉朱熹對伏羲六十四卦次序圖的說明如下:
朱熹答袁樞曰：
若要見得聖人作易根原，直截分明，不如且看卷首橫圖，自始初只有兩畫，漸次看起，以至生滿六畫之後，其先後多寡，既有次第，而位置分明不費詞說，於此看得方見六十四卦全是天理自然挨排出來，聖人只是見得分明，便只依本畫出，元不曾用一毫智力添助。蓋本不繁智力之助，亦不容智力得以助於其間也。
大家注意其中的“其先後多寡，既有次第，而位置分明不費詞說，於此看得方見六十四卦全是天理自然挨排出來”，說的就是先天易圖排列法則是依照大小多寡一個挨一個地排出來的，強調了其中的數(序號)意義。
２．邵雍先天易圖只用兩個基本符號即陰與陽來表示。
這是主要誤會所在，誤以為必須是０和１才是二進位，甚至認為必須用1代替“—”、0代替“- -"才能稱為二進位制。儘管北宋以來有不少中國古代學者對二進位制的簡單換算性質作了敍述，但與其他計數方式的換算不是二進位制自身是否成立的前提。
３．邵雍先天易圖無須引入專用進位元符號，直接利用陰陽爻的相對位置表示位值，也就是說，利用了位值的概念。以往幾乎沒有人注意到這個問題。
可見，邵雍先天易是用“—”和“- -"這兩個基本符號構建的序數體系，二進位制記數法是先天易的邏輯基礎。
第二節 先天易是專門定義的抽象數
我們知道，中國數學史所討論的內容基本上都屬於算術範疇，在古代被稱為算學，即布算之學，重於計算技巧。而中國古代數學是專指邵雍為代表的研究傳統，即通過對抽象數的研究來探尋宇宙萬事萬物的內在邏輯。俗言中心中有數、定數就是這個數。伊川說：“數學至康節始入理也。”《四庫全書提要》評述道：“物生有象，象生有數，乘除推闡，務完造化之源者，是為數學。”就是說：主張物的產生必有象為先導，象的產生必有數為基礎，對數的關係進行深入探究，以達到窮盡造化演化規律的學問稱為數學。上海古籍出版社《四庫術數類叢書》出版說明指出：“(數學)實際是指據《周易》陰陽奇偶之數推衍出來的象數說。”
邵雍是如何看待數的呢？《觀物外篇》說：
易有內象，理數是也；有外象，指定一物不變者是也。
自然而然不得而更者，內象內數也，他皆外象外數也。
此就是說，象數可分兩大類：一是內象，用以表示內在的理數；一是外象外數，用以表示外在的具體事物及其相關的資料。前者指奇偶變化的法則，後者指天地風雷等變化的形跡。實際上，中西古代數學史所討論的數都是具體的數量，都是帶單位的數，即這裏的外數。理數之稱，強調數自身的內在邏輯性不是人的主觀所能安排或改變的，此即“自然而然不得而更者”，故稱其為內數，他把內數所具備的內在的數理邏輯稱為“自然之道”。
換句話說，理數即是用於說理之數，強調其數之理，說明這種數的主要特徵是具有內在的邏輯性。內數，指陰陽邏輯系統，用以研究事物的內在所固有的數理邏輯。從數學學派的著作中可以看出兩種內涵都有而前者是根本。中國數學史上的內學和外學之分，常常是建立在這種概念基礎上的。研究抽象數理邏輯的數學稱為內學，而研究具體數量關係的算學稱為外學。邵雍特地將體現“自然之道”的內數即數理邏輯與通常所用的“指定一物不變”的指實數區別開來是有其目的的，其目的是要將他所倚重的內數即數理邏輯發揚光大，做為他理論的基石。
邵子將數分成內數與外數兩種性質完全不一樣的系統，在數學史上是一個獨具慧眼的發現。根據抽象數學發展的需要，現代數學中把數分為抽象數(即不名數Abstract Number)和名數(Concrete Number ) 兩類（見（台）《中山自然科學大辭典》第二冊《數學》P33～78）。抽象數（不名數）的定義是： “任意單純的數，與任何特別的事物無關，除非這些事物具有數的性質，主要用以表示與名數的差別。”而名數的定義是：“一數附於特別的事物或單位，例如三個人或三小時等，此數及其所涉及者並稱為名數。”
這種劃分與邵雍關於內數與外數的劃分基本上是一致的，邵雍定義中的外數是“指定一物而不變者”，就是現代定義中的名數；而內數是用以表達數之理，其定義除了與抽象數的定義一樣強調“與任何特別的事物無關”之外，還側重強調其邏輯具有淺顯(自然而然)而嚴密(不得更者)的特徵，表明它主要是用來探尋事物的內在規律性(自然之道)。內外數的劃分，標誌著中國中古時期存在相當成熟的理性思考，增添了傳統科學中研究抽象關係的純粹科學特色。邵雍開創的學術傳統，被稱為數學。《四庫全書》列有數學專目，而《古今圖書集成》也有理數部，專門收集數學學派代表作。
第三節 邵雍數學學派關於二進位序數換算問題的討論
邵子先天易作為二進位制序數體系無疑是成立的，就像不能說只把寫成阿拉伯數字形式才算是數字一樣，無論從何角度也不要求非得把它換算成十進位不可。
理數是序數體系，有別於通常所用的基數體系。在介紹相關換算之前，有必要介紹兩者在計數方式上的微小差別。基數從“沒有”（0）開始，序數從“第一”開始。在十進位制表示中，從0到9十個基本記號來自基數的自然表達，對應於序數則是從第一（即以第“零”為一）到第十。同樣的基本記數符號所代表的序數比基數多1,即n進制中符號系列a1a2…am所代表的序數為（a1a2…an）n+1。這種概念上的區別有非常明確的物理意義，如狀態函數ψ(000)代表第一個狀態（基態）。
先天易是以太極(陽)為基礎構造的系統演化理論，在陰陽的關係上邵雍《觀物外篇》指出：
陽不能自立，必得陰而後立，故陽以陰為基。陰不能自見，必待陽而後見，故陰以陽為唱。
邵雍數學學派以數為出發點，理從數中來。因此這裏首先講數（陰陽）的關係。根據陰陽特性和“一每生二，自然之理”法則，陽爻相當於零值，陰爻相當於位值。“陽以陰為基”是說假如沒有陰爻在高位，陽爻的個數對序的大小不產生影響，即高於位值（陰）的零值符號（陽）對序沒有貢獻，所以稱陽爻以陰爻為基。例如：陰“- -”其對應序數為2，即(1)2＋1＝2；“兌”亦對應於序數2，即(001)2＋1＝2。
“陰以陽為唱”是說低位元的陽爻高位的陰爻代表的位值倍增。例如：陰“- -”其對應序數為2，即(1)2＋1＝2；“巽” 其對應序數為5，即(100)2＋1＝5。
兩句話說的是陰爻與陽爻在構成二進位制數的具體過程中表現出來的相互依存的兩種不同的作用。即以陽為0，以陰為1高位在下的二進位制自然數。在《皇極經世書》中，“唱”與“和”均通用為相乘演算法。下面我們從一個有趣的例子來介紹先天易中對二、十進位換算的處理。南宋張行成在《易通變》(又名《皇極經世通變》)卷一中說：
乾兌離震巽坎艮坤者，名也，名所以表其德；一、二、三、四、五、六、七、八者，數也，數所以定其位。位者，體也，故有位斯有卦；德者，用也，故有卦斯有爻。卦者，體也；爻者，用也。先天圖反觀之則乾一、巽二、離三、艮四、兌五、坎六、震七、坤八。乾坤坎離四卦不變，餘四卦則震艮巽兌互相易矣。天之一、三不變，二、四變；地之六、八不變，五、七變。
卷三十八則有如下論述：
卦自內觀之，則乾一、兌二、離三、震四、巽五、坎六、艮七、坤八；卦自外觀之，則乾一、巽二、離三、艮四、兌五、坎六、震七、坤八。
先天卦數即大家都很熟悉的乾一、兌二、離三、震四、巽五、坎六、艮七、坤八。張行成說，從內往外讀，即初爻為高位，卦的理數值是這個結果。假如反過來，自外往內讀， 即上爻為高位，則是乾一、巽二、離三、艮四、兌五、坎六、震七、坤八。
下面依上述“陽以陰為基， 陰以陽為唱”的規則，轉換成十進位值。若高低位的規定對換，則乾坤坎離四卦表示值不變，而震與艮、巽與兌的表示值互相交換。
乾(000) 2＋1＝1；
坤(111) 2＋1＝8；
坎(101) 2＋1＝6；
離(010) 2＋1＝3；
震由(011) 2＋1＝4變成(110) 2＋1＝7；
艮由(110) 2＋1＝7變成(011) 2＋1＝4；
巽由(100) 2＋1＝5變成(001) 2＋1＝2；
兌由(001) 2＋1＝2變成 (100) 2＋1＝5。
第四節 明清時期對先天易二進位制的兩種典型觀點
一、王夫之斥先天易淪為算士銖積寸壘的小術
現代人對先天易卦衍生序的討論都儘量限制在哲學範圍之內。而從我們上面的討論中可知，先天易卦符號首先是數的符號，然後在此基礎上討論包括哲學在內的其他問題。先天易符號二進位制數結構對明清學者來說是簡單的事實。他們分歧的焦點在於強調二進位制數結構的先天易模型能否規範萬物萬象。作為邵雍數學學派的主要反對者，王夫之在評論邵雍以加一倍法演先天易時說：
教童稚知相乘之法則可，而與天人之理毫無可取。使以加一畫即加一倍言之，則又何不可加為七畫以倍之為一百二十八，漸加漸倍，億萬無窮，無所底止，又何不可哉？不知《易》但言四象生八卦，定吉凶，生大業，初不可損羲爻，益而為四爻，五爻。此乃天地法象之自然，事物通變之定數，不可以算士銖積寸壘，有放無收之小術，以亂天地之紀也。
邵雍、蔡西山之道，可勿僅以數學名也。始姑就之，天下趨焉；終遂耽之，大道隱焉。(《續春秋左傳博議》卷下)
在他看來，先天易僅僅是算博士“銖積寸壘，有放無收”的雕蟲小技而已，與大道無涉，也正是由於過分強調二進位制數學特性而失去了詮解大道的資格。
二、汪萊從Ｐ進制角度論證二進位的優越性
汪萊是清朝乾嘉時期傑出的數學家，也是中國古代著名的數學家。著有《衡齋算學》七卷、《衡齋遺書》九卷。因不滿考據家因循復古的陳腐風氣，鬱鬱不得志，以致英年早逝。
當時考據家以非兩漢正統為由對邵雍數學學派進行全面否定，而從汪萊數學名著《參兩算經》則可以看出他對邵雍觀物思想和先天易情有獨鐘。
《參兩算經》全文不足千字，分為《原始》、《立綱》、《匯奇》、《列偶》、《會歸》，最後為《參兩數說》，共六部分。文字極為凝煉，其中《原始》、《立綱》、《會歸》各僅僅３０餘字。
其中《原始篇》曰：
端居觀物，情契先天，見象數之紛紜，其可斷者不外乎參兩，乃著之則以示來者。
此篇為前言，講明此算經的寫作目的。在當時觀物之學極為尷尬的形勢下，“端居觀物，情契先天”八個字包含的情感非同一般。
《立綱篇》：
立數在十，算如常法。或上或下，逢身進位。立法少實，即命為法，立法過實，盈實進一。大綱若此，諸數以定。
此為演算法總綱，講任意進制的乘除法及整除性法則。《匯奇篇》和《列偶篇》則分別為奇數進位制與偶數進位制的乘除法及整除性研究。
《會歸篇》是本經的結論部分：
曰參曰兩乃數之原。立數於參，二乘一一。立數於兩，一乘不煩。是以生諸數之法而不受裁於法。
通過上面的討論，結論是二進位乘法口訣最簡單，只需一算式，即一乘一等於一，並強調了二、三進位制的優越性，推之為“乃數之原”，旨在闡述他對“參天兩地而倚數”的數學理解。
天津師範大學李兆華教授對汪萊數學著作有深入的研究，他在《汪萊〈遞兼數理〉、〈參兩算經〉略論》(吳文俊主編《中國數學史論文集（二）》)一文的最後指出：
《參兩算經》一書，提出了採用各種進位制的原則是“審法與數之宜”以求運算的簡便與結果的準確，足見汪氏治算觀點之高。汪氏又具體地給出2≤p≤10時各種進位制中的乘除表並深入地討論了p進制中的“整除性”問題，在中算史上是空前的。p進制的研究是隨著本世紀四十年代電子電腦的產生而發展起來的，而中國的數學家在電子電腦產生之前一百餘年對p進制的運算和理論達到如此熟練與深入，實在是值得驕傲的事情。
最後應該指出，這兩篇著作都涉及到《易經》。《易經》究竟給予汪氏怎樣的啟發?怎樣評價《易經》的這種影響?這是中國數學史研究中一個帶有普遍性的問題。這個問題需要哲學史與數學史工作者共同努力才能給出實事求是的回答，本文姑從略。
儘管在上述論文中，作者刻意回避二進位制問題及相關評論，但是，從汪萊原著中我們不難看出，二進位制是《參兩算經》的一個核心而且與邵雍先天易有千絲萬縷的關聯。
第五節 從皮亞諾序數公理出發論證先天易是完備的二進位制
邵雍數學學派發現並廣泛使用二進位制是不必費多少筆墨就能說清楚的事實，本文的主要目的在於從序數公理出發論證邵子先天易是完備的二進位制序數體系。序數體系的建立是抽象數學的基礎。邵子先天易是第一個有明確定義的序數體系，也就是第一個抽象數學體系。
自然數的概念在數學上一直被當做最明顯，最基本的概念來應用，直到上世紀末，在數學的公理化方法發展的影響下，才提出“自然數是什麼”的問題。基於自然數的兩種功能層次，即表達個數的概念和表達順序的概念，19世紀末出現了著名的康托爾基數公理和皮亞諾序數公理，從數學邏輯的角度對什麼是個數和什麼是順序號作出定義。
大家都知道，個數和順序都是顯而易見的概念。但從文明發展的角度來說，異同概念的出現是理性的起點，個數概念的出現是一個巨大進步，順序概念的出現又是一個巨大的進步。對個數（基數）和順序（序數）作出規範定義將大大方便文明史的研究，也有助於抽象數學本身的發展。
基數就是個數，是最原始的、很直觀的數的概念，判斷掌握基數概念的標準是只需有一一對應地數個數能力，尚不要求形成整體意識，也不要求有一般的比較概念。自然數的基數理論，即康托爾基數公理，是以集合和一一對應的概念為基礎來定義的。由於在定義中不能隱含順序概念在裏面，使用集合的概念來定義是非常巧妙的，但也相當拗口。
給定兩個集合Ａ、Ｂ，如果存在一個規則ｆ，對Ａ中的每一個元素ａ，在Ｂ中唯一確定ｂ（即ａ在ｆ下的像），而Ｂ中任一元素ｂ均由Ａ中某一相應元素ａ唯一確定，那麼就說ｆ是Ａ到Ｂ的一個一一對應。存在一一對應的兩個集合稱為等價的，取定一個集合Ａ，把所有與Ａ等價的集合放在一起，作成一個集合的類Ｗ，Ｗ中所有集合所共有的屬性稱為Ａ的基數，簡言之，類Ｗ本身就稱為Ａ的基數。集合的基數實際上就是集合中元素的個數。
自然數的序數理論是利用兩個的基本概念第一個(first)與下一個(next)以及四個公理來定義的。第一個通常可以記為１，不過不如記為n0更有普遍意義。所謂自然數（序數），是指滿足以下性質的集合Ｎ中的元素：
１）n0是Ｎ的一個元，它不是Ｎ中任何元的後繼者，若n的後繼者用n＋來表示，則對於Ｎ中的任意元n, n＋不等於n0。（注：n0是指定的順序起點而不作證明）。
２）對於Ｎ中任意元n, 存在而且僅存在一個後繼者n＋。
３）對Ｎ中任何兩個元n和m, 若n＋＝m＋，則n＝m.
４）Ｎ的一個子集Ｍ，若具有以下性質：
① n0屬於Ｍ；
② 對於任意m屬於Ｍ，必有m+也屬於Ｍ；則Ｍ＝Ｎ
皮亞諾公理指出，要建立一個順序概念首先要選定一個順序的起點“第一個”(first)，其次需要規定一個順序操作“下一個”(next)或稱為“後繼者”，有了這兩個概念，就能定義一個序列，也就是序數。序數概念是現代數學的基礎概念，具有廣泛的適用性。
下面以排隊為例對皮亞諾公理進行說明，理論上佇列可以無窮長。其中公理一是說：第一個是絕對的，不能存在“第一個”的上一個，比如排隊時你排在前面第一個，就意謂著佇列中沒有比你排在更前面的。
公理二是說：佇列中任何人的下一個必有但也只能有一個，不能多個。
公理三是說：對任何人來說，如果他後面一個位置的序號已經知道（確定），那麼他本身的序號也就定了。
公理四是說：假如原來佇列的第一個另排一行，第一個的“下一個”，“下一個”的“下一個”全部依次跟過來，那麼新佇列和老佇列是等價的。
這樣定義的自然數稱序數，以區別前者定義的基數，是專門針對“第幾”這個問題而定義的。基數起於感性量的簡單同異比較，用於描述感性的、形象的數量，而序數是基數的進一步抽象，是思維進一步發展的產物，用於描述理性的、抽象的關係量。
各種已知的古代數系，基本上都經過從基數到序數的過程，首先用以表示“幾個”，然後才抽象出表示“第幾個”的涵義。但除了先天易之外，還沒有出現經過定義的序數體系。
專門把表示順序的序數與表示個數的基數從基本定義上區分開來是數學向抽象化發展的要求，也是抽象數概念產生的基礎。邵子先天易就是專門定義的序數體系。為敍述方便，用Ｙ表示先天易體系。下面從皮亞諾四個公理出發逐一論證說明先天易符合序數定義，是從序數的角度來定義的。
有明確的順序起點定義，先天易從乾(太極)開始演化，是序列的起點。
有明確的次序定義，正如朱熹所說的“其先後多寡，既有次第而位置分明，不費詞說，”、“全是天理，自然挨排出來”、“無不曾”、“亦不容”、“智力添助”。又是“未知其所窮”的“有放無收”的系統，這就是說，系統Ｙ是依多寡自然挨排即按多寡一個緊挨著一個排出來的排列，元素與元素之間的先後次序是固定不變的，元素的個數又是無窮的，故每個元素ｙ必有固定的唯一的後繼者ｙ＋。
根據Ｙ系統上的特徵，每一個後繼者ｙ＋，前面必有唯一固定的元素ｙ。這是顯然的。
設Ｗ是Ｙ的一個子集，即Ｗ中的元素全部是Ｙ中的元素，
假定 I：乾一(y0)是Ｗ中的元素；
II：Ｗ中任意元ｗ，其後繼者ｗ＋也是Ｗ中的元素。
則Ｗ與Ｙ等價。
證明：從前提Ｗ是Ｙ的一個子集出發得知，Ｗ中每一個元素都是Ｙ中元素，不存在屬於Ｗ而不屬於Ｙ的元素。
從假定一得知Ｙ序列的第一個元素y0也是Ｗ中的元素，Ｙ中不可能有在y0前面的
元素，而Ｗ中的元素都是Ｙ中的元素，因此Ｗ中y0也是第一個。
根據假定二，Ｗ中任意元素的後繼者都是Ｗ中的元素，從y0出發逐一加一的生成的元素都是Ｗ中的元素，同時這本來就是Ｙ的定義，所以Ｙ是Ｗ的子集。又前提中Ｗ是Ｙ的子集，所以Ｗ與Ｙ等價。
由於進位元制是自然數自身表達的模式，先天易系統Ｙ是自然數序數系統，在內部結構上，任意大數均表示為奇偶兩個符號的迭加，並利用非零符號所在相對位置的不同表示位值的不同。所以先天易系統Ｙ是二進位制自然數體系。為了脫離數量與單位等具體特徵的約束，先天易從單純序數的角度來構建自然數序列，開抽象數學之先聲，它的意義必將逐步得到人們的重視。
第六節 《周易》與二進位制問題散記
近數十年來，國內否定周易與二進位制有關的運動有兩個學術源頭，一個是李約瑟《中國科學技術史》中綜述，另一個是80年代英國E.J.愛頓的一篇短文。之所以稱之為運動，那是因為大家似乎都不約而同地隱含著對研讀原著的不熱心甚至鄙視。下面是有關這個問題的三段筆記，以此獻諸同好。
一、葛蘭言的碰巧說
從近現代西方學術界的角度看，自從認識二進位制數之伊始，就與《周易》結伴而行。西方第一篇關於二進位制的文章發表於1703年，是萊布尼茲在《皇家科學院紀錄》上發表的，標題為《二進位算術的解說》，副標題為“它只用0和1，並論述其用途以及伏羲氏所使用的古代中國數字的意義”，作為對中國哲學的介紹加以高度評價。以後周易與二進位問題作為東方文化的一個特色一直引起西方學者的廣泛注意，他們對從浩瀚的易圖進行研讀，得到了很多有益的成果。一直到本世紀二三十年代，幾乎沒有人對中國古代二進位制的發明權表示懷疑或商榷。
正如李約瑟所說的，“要是在十多年前，這個論題可能到此就結束了。但是晚近的發展表明，萊布尼茲的二進位算術遠遠不單純是歷史上一樁奇事而已。”近幾十年來由於電子技術中的應用發展使某些西方學者對中國古代發明二進位這一結論越來越不能接受，於是有個宣判性質的工作由漢學家葛蘭言先生給出的，在沒有研究或者說沒有讀懂中國古代原始文獻的前提下葛先生作了激烈的判決。他說，哪怕是承認六十四卦序與萊布尼茲二進位有一點點最低的共同基礎的想法都是理所當然應該摒棄的，因為“發明六十四卦的那些人所關心的只是用長棍和短棍這兩種基本原件來形成一切可能的排列與組合。這些一經形成之後，顯然有好幾種同樣合乎邏輯的排列也是可能的。事實上，其中有兩種最後獲得了極大的重要性，雖然其他排法也不難設計出來。把數學的意義歸之於六十四卦，其主要的缺點是，沒有什麼東西是比任何一種定量計算更遠離古代《易經》專家們的思想的了。”李約瑟指出“葛蘭言已充分地表明瞭這一點”。“至於研究用陰爻和陽爻的反復交替組成六十四卦的‘變易’的占卜者，他們可以被認為是在進行簡單的二進位算術運算，但是他們在這樣做的時候，肯定是並沒有認識到這一點的。我們必須要求，任何發明——無論是數學的或是機械的——都應該是有意識地作出來並能供使用的。如果《易經》占卜者不曾意識到二進位算術，而且也未曾加以使用，那麼，萊布尼茨和白晉的發現就僅僅具有如下的意義，即在邵雍的《易經》解說中所表現的抽象順序系統是碰巧與包含在二進位算術中的抽象順序系統相同而已。邵雍在他的《易經》六十四卦排列中偶然碰到並由萊布尼茨使人意識到的二進位算術，可以說是在一種十分真實的意義上早在它被人發現適合於現代人的大型電腦之前，就已經被用來構造哺乳動物的神經系統了。”
這裏稱之為宣判而不是研究，是因為這個工作本身更像是一個武斷而措詞激烈的宣言而不是研究，是因為他這種對宣判物件邵雍數學學派起碼的常識不知道也不屑於涉及的方式更像一個西方傳統上的宗教審判。葛氏宣判中涉及的易學常識性笑話就不值得一說了，下面講講行文中的數理常識錯誤。
葛氏對什麼叫排列，什麼叫組合，搞不清楚；對什麼是二進位制也只有一些感性的印象；當然對排列、組合與序數概念關係問題更是一片模糊。排列是建立序數(自然數)的基礎上的抽象的概念，也就是排順序。其中排列項本身就是序號的代表，從排列本身的意義上說，就是序數，也就是自然數記號。由兩種基本符號就可以完全表達的順序記號系統本身就是二進位制自然數，完全與這兩位元基本符號的具體形式無關，無論是陰與陽還是長棍與短棍，或者是0與1，都是可以作為二進位基底的等價表示，因為它們是同構的。
組合是在排列概念的基礎上進一大步的抽象思維能力，從人類智力發展進化進程上說，要求更高的智力水準，必須相對抽象的分析比較能力和一定的全局概念為基礎。就是說，序數概念是排列行為的必然前提，組合概念是排列基礎上的智力飛躍。它們都是依從於順序概念的理性活動，自然是有意識的，離開了對順序概念的自覺，還能稱為排列和組合嗎？另外，數學就僅僅等於定量計算麼？
為了解釋先天易圖中的陰爻和陽爻，有學者提出更無稽的暢想：“卦的線條倒不見得代表占卜用的長短棍，而是更多地與自古以來中國肯定在使用的算籌有關。因此，這些符號可能是來源於使用一種以５為基的算術，由細線或斷線代表其值為１的算籌，而粗線或不斷線則代表其值為５的算籌。”這就是李約所說的“更說得通”的巴爾德設想。不知為什麼不從原著出發？假如讀不懂的話又有什麼資格瞎編呢？這就是二三十年前徹底否定中國祖先發明二進位制的補台大作，它替葛氏給陰爻和陽爻想出了一條出路，這是邵子或朱子原著中找不到的。於是宣判結束，意見得到統一，萊布尼茲以來幾百年的西人都錯了，“愚笨”的中國古代變易論者怎能和創造奇跡的二進位制相聯繫呢？
說巴爾德對易學完全不瞭解，那不是事實，他用二進位轉化為普通數位的方法從卦圖中“發現了各式各樣的幻方”，由於“從《易經》得出的幻方卻頗為複雜，因而很難使人相信，中國的變易論在他們編排六十四卦時在內心裏曾有過任何這樣的思想”。這就是李約瑟的觀點，當然也是巴爾德的觀點。
以上引用材料均見於李約瑟在《中國科學技術史》中對這一問題的爭論的總結，下面總結一下葛蘭言與巴爾德所代表的學術界的一致性意見：
Ａ．邵雍的《易經》解說中所表現的抽象順序系統本身就是二進位制系統。
Ｂ．假如這種順序關係本身對他們來說是有意義的，也就是說，意識到兩符號(即陰爻和陽爻)的組合可以用來表示順序，甚至已經用來表示順序，那麼他們就已發現了二進位制，或者說，他們對位值和零有了某種理解；
Ｃ．反之，假如不是有意而是碰巧排出來的，他們就沒有發現二進位制，也就是說，並不能用來說明他們對位值和零有了某種理解。
Ｄ．一致性意見是：他們是碰巧排出來的並不是有意用來排序的，所以僅僅是與萊氏不謀而合的抽象順序系統而已。
可見關鍵是意識到還是沒意識到這種抽象順序，亦即意識到與否兩符號(即陰爻和陽爻)的組合可以用來表示順序。答案是顯然的，因為這正是先天易的特點。
其實，要是像他們所說的那樣是“碰巧”而非“有意”，那才是大大的奇跡呢！下面我們先算算這種概率。
“與萊氏的數不謀而合的抽象順序系統”是指伏羲六十四卦次序圖和方點陣圖。實際上圖中共有三個排序，均符合二進位制法則。每一個碰巧排出的概率均約為2/64!，即大約為1/10的89次方，遠遠低於不可能事件的概率要求。假如是“碰巧”而非“有意”排出，則三個排序互為獨立事件，同時得到的概率約為1/10的267次方，當然也是絕對的不可能事件。為了幫助形象地理解這個概率，下面作個說明。根據相對論和量子力學的共同要求，宇宙中有靜品質的基本粒子總數上限是1080，宇宙從生到滅約有150億（1.5×10的10次方）年，一年約有三千萬（3×10的7次方）秒，人生百年約有3×10的9次方秒，整個宇宙“一生”約有5×10的17次方秒。可見有些話說起來輕巧，其實並沒那麼簡單，假設整個宇宙從誕生到滅亡的所有時間內都在按葛蘭言所說的方法進行無意識的排序活動，也不可能為碰巧說提供概率上的保證。因此，先天易圖只能是有意的而非碰巧的排列結果。實際上大量的古代文獻雄辯地證實了這一點，如圖的名稱就是卦序圖或次序圖，即已直截了當點明圖是次序圖，用於排序，並說明是用“一分為二，二分為，四分為八……”的方式構造的，既然是排次序，圖中符號系列即是序號。這裏從概率的角度加以論證是為了說明即使在沒有其他文獻的情況下也不能輕易下“碰巧”的結論。另外葛氏等人把作為人類智慧活動的產物與自然存在混為一談，進行偷換概念也是相當不合適的。按照他們的邏輯，早在牛頓發現萬有引力定律之前的150億年，萬有引力定律“可以說是在一種十分真實的意義上”“就已經被用來構造”宇宙中物質系統啦。
二、愛頓用分離表解釋先天圖
還有一位英國的E.J.愛頓在８０年代為邵雍先天圖的產生設計了一個極有創造性的莫名其妙的明暗兩種矩形投影分離表，據稱用這種投影分離表可以復原先天圖，這位富有想像力的學問家於是斷言，儘管白晉寄給萊布尼茲的木版伏羲六爻排列圖“確實表現出與某種數的體系的相似性”，但是，它“是邵雍利用分離表復原而成的。明暗兩種矩形分別加以區別的伏羲排列圖的六爻組成，並不能使人想到它與容易理解的數體系的聯繫。”當時權威學術刊物的《科學史譯叢》隨即進行了翻譯介紹，成為十幾年來的一個學術棍子，有的權威人士甚至認為應把有關周易與二進位制的討論當成國恥來看待。E.J.愛頓的結論成了最新的權威結論，在各種文獻中的引證不下千次，竟沒有一個引證中對這個莫名其妙的分離表表示懷疑，樂於以此為評判標準甚至終極真理的中國學者，似乎並不樂於花半小時的時間查證一下相關的古代原著。也許是在一段時期內，對學術問題進行缺席審判早已為大家所熟視了，而且怕踩高壓線、跟風附和似乎已經形成了慣性，老成之士當然也樂於繼續慣下去。
三、萊布尼茲說了些什麼
其實，萊布尼茲本人對二進位的研究到底到了什麼程度，諸公很少論及。英國哲學史學會秘書、萊布尼茲學會負責人麥唐納•羅斯教授的教科書《萊布尼茲》第二章《數學》的第二節《二進位制演算法》中在充分介紹和高度評價二進位本身的偉大意義之後指出，二進位對萊布尼茲來說“除了一個非常模糊的草稿而外”，更重要的意義是“神而上的”，而且與他的發明計算器演算法毫無關係。這個“非常模糊的草稿”本身羅斯並沒有太大興趣，於是他用不少筆墨引用萊布尼茲的“神而上”文獻。現摘如下：
或許只有一個東西能夠獨立地被設想，那就是神本身——還有無，或者說不存在。這可以通過一個極好的類比弄清楚，……［他概略地論述了二進位記數法，並繼續說：］我這裏不打算論述這種體系的巨大用處；只要指出所有的數通過一和無的方式加以表達是何等的美妙就足夠了。然而，儘管事物隱秘的秩序使一切事物都產生於純存在和無這點成為自明的，而人們並無希望在此生中就能達到這種秩序，但是對觀念的分析來說，進行證明真理所必須的程度也就足夠了。
羅斯接著寫道：
萊布尼茲對這個思想感到很驕傲，以致他打算用一個刻有銘文的紀念章來紀念它。銘文是：“Ｇ.Ｗ.萊布尼茲所發現的創造物的典型。”以及“為了從無中派生出一切來，一就夠了。”
羅斯在總結性評價中說，“僅就與萊布尼茲有關而言，這一發現最重大的意義是形而上學方面的，或者更確切地說是神而上的，因為它說明了整個宇宙如何可以看成是由數所構成的。”對邵雍數學學派比較熟悉的�
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